問題5.1（小木曽啓示「代数曲線論」）

層の準同型があるとストークからストークへの準同型が自然に定義できるけど、それは局所的な写像を飛ばした先の写像の局所的な様子から決まるということを言っている。
もっともらしいことをきちんと示すタイプの演習問題。

問題

$\varphi \colon \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G} \,$ を $X \,$ 上の前層とする。 $s \in \mathcal{F}(U), \, t \in \mathcal{G}(V) \quad (U, V$ は $p$ を含む $X$ の開集合について、次は同値であることを示せ。

$\varphi_P (s_p) = t_p$
$W \subset U \cap V$ である $p$ の開近傍 $W$ があって $\varphi (s |_W) = t|_W$

解答

$(1) \Rightarrow (2)$ 　 $\varphi_P (s_p) = t_p \,\text{より、}\, U \cap V$ に含まれる $p$ のある開近傍 $W$ で、
$\rho^{\mathcal{G}}_{W,U} \left( \varphi (s) \right) = \,\rho^{\mathcal{G}}_{W,V} (t_W)$
を満たすものが存在する。
$\varphi\,$ は層の準同型なので、右辺は $\varphi \left( \rho^{\mathcal{F}}_{W,U} (s) \right) = \varphi ( s|_W )\,$ と等しく、左辺は $\, t|W \,$ と等しい。
$(2) \Rightarrow (1)$ 　上の議論は反対向きに辿れるので、示された。